Таблица Соответствия Чисел в Позиционной Системе Счисления • Вариации и обобщения
Глава 2 Кодирование информации с помощью систем счисления / Информатика: аппаратные средства персонального компьютера
в виде последовательности нулей и единиц, и могут быть представлены в формате с фиксированной или плавающей запятой.
Урок №1. Позиционные системы счисления.
Рассмотрим привычную для нас запись числа N = 754 в десятичной системе счисления. Не задумываясь, мы ответим, что число N состоит из 7-и сотен, 5-и десятков и 4-х единиц.
Запись числа в позиционной системе счисления означает разложение числа по степеням основания. В роли коэффициентов выступают цифры системы счисления.
Понимание этого факта и соответствующего ему представления числа N соотношением (*) достаточно для решения многих задач экзамена ЕГЭ.
Решение: Используя разложение по степеням основания 3, число 130 можно представить: 13010 = 3 4 + 3 3 + 2*3 2 + 3 + 1 = 81 + 27 + 18 + 3 + 1 = 112113
Задача 2 может потребовать некоторых вычислений из-за того, что со степенями тройки сложнее работать, чем со степенями двойки, которые обычно помнит наизусть каждый ученик, изучающий информатику.
Решение: Это обратная задача по отношению к задаче 1. Здесь, зная цифры и основание системы счисления, нужно восстановить число, используя соотношение (*).
Решение: Задача записи числа N в системе счисления с основанием p, если задана его запись в системе с основанием q, решается в два этапа. На первом этапе число переводится в десятичную систему, на втором этапе – в систему с основанием p.
Алгоритм достаточно прост. На пальцах он выглядит так. Необходимо последовательно делить число на p — основание системы счисления. Остатки от деления дают цифры для записи числа в системе с основанием p.
- Положим M = N = ck-1 * p k -1 + ck-2 * p k -2 + … + c0 * p 0 ;
- Представим число M в виде: M = (ck-1 * p k -2 + ck-2 * p k -3 + … + c1) * p + c0
- Нетрудно видеть: с0 = M % p, где операция % означает остаток от деления;
- Вычислим новое значение M = M / p, где операция / означает деление нацело. Результатом этой операции является число, от которого отрезана последняя цифра; Полученное число сохраняет представление (*).
- Операции 3 и 4 будем повторять k раз, получая каждый раз очередную цифру в разложении N по степеням основания p.
К этому алгоритму мы еще вернемся, а сейчас рассмотрим несколько менее тривиальных задач, на тему представления чисел в системах счисления.
Задача 5: Число 77 в системе счисления с основанием p заканчивается на 0, а число 29 в этой системе заканчивается на 1. Чему равно p – основание системы счисления?
Задача 6: Двузначное число N в системах счисления с основаниями 3 и 7 заканчивается одной и той же цифрой. Укажите минимально возможное значение N .
Задача 8: При выполнении фрагмента программы на печать выводятся два числа — 3 и 18. Перечислите все возможные значения числа N в этом случае?
Решение: Эта задача является вариацией предыдущей задачи. Здесь необходимо определить возможное значение трехзначного числа, зная произведение его цифр. В ответе перечислены все возможные решения
Вопрос №4. Запись чисел в позиционных системах счисления. — КиберПедия
К этому алгоритму мы еще вернемся, а сейчас рассмотрим несколько менее тривиальных задач, на тему представления чисел в системах счисления.
2. Арифметические операции над числами, представленными в различных системах счисления
Арифметические операции в двоичной системе счисления основаны на таблицах сложения, вычитания и умножения одноразрядных двоичных чисел.
При сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос единицы в старший разряд, при вычитании 0–1 производится заем из старшего разряда, в таблице «Вычитание» этот заем обозначен 1 с чертой над цифрой.
Арифметические операции над целыми числами, представленными в различных системах счисления, достаточно просто реализуются с помощью программ Калькулятор и MS Excel.
